2018年高考数学命题角度6.3利用导数研究函数的零点、方程的根大题狂练理

发布于:2021-10-26 11:45:41

命题角度 3:利用导数研究函数的零点、方程的根 x 1.已知函数 f ? x ? ? a ? e ? x ? 1? lna ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1) , e 为自然对数的底数. a (Ⅰ)当 a ? e 时,求函数 y ? f ? x ? 在区间 x ? 0, 2 上的最大值; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 只有一个零点,求 a 的值. 2 【答案】 (Ⅰ) f ? x ?max ? f ? 2 ? ? e ? 3e ? ? ? 1 1 ;(Ⅱ) a ? . e e 【解析】试题分析: 2 (1)由导函数的解析式可得 f ? x ?max ? max f ? 0 ? , f ? 2 ? ? e ? 3e ? ? ? 1 . e 1 . e (2)由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? loga e ,分类讨论 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况可得 a ? x (Ⅱ) f ? x ? ? a ? e ? x ? 1? lna ? 1 x x , f ' ? x ? ? a lna ? elna ? lna ? a ? e ? , a 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? loga e ,则 ①当 a ? 1 时, lna ? 0 , x f '? x? f ? x? ? ??,logae? ? log a e 0 极小值 ?logae, ??? ? 所以当 x ? loga e 时, f ? x ? 有最小值 f ? x ?min ? f ? log a e ? ? ?elna ? 1 , a 因 为 函 数 f ? x ? 只 有 一 个 零 点 , 且 当 x ??? 和 x ??? 时 , 都 有 f ? x ? ? ?? , 则 -1- 1 1 ? 0 ,即 elna ? ? 0 , a a 因为当 a ? 1 时, lna ? 0 ,所以此方程无解. ②当 0 ? a ? 1 时, lna ? 0 , f ? x ?min ? ?elna ? x f '? x? f ? x? ? ??,logae? ? log a e 0 极小值 ?logae, ??? ? 所以当 x ? loga e 时, f ? x ? 有最小值 f ? x ?min ? f ? log a e ? ? ?elna ? 1 , a 因为函数 f ? x ? 只有一个零点,且当 x ??? 和 x ??? 时,都有 f ? x ? ? ?? , 1 1 ? 0 ,即 elna ? ? 0 ( 0 ? a ? 1 ) (*) a a 1 e 1 ae ? 1 设 g ? a ? ? elna ? (0 ? a ? 1) ,则 g ' ? a ? ? ? 2 ? , a a a a2 1 令 g ' ? a ? ? 0 ,得 a ? , e 1 1 当 0 ? a ? 时, g ' ? a ? ? 0 ;当 a ? 时, g ' ? a ? ? 0 ; e e 所以 f ? x ?min ? ?elna ? 所以当 a ? 1 1 1 ?1? 时, g ? a ?min ? g ? ? ? eln ? e ? 0 ,所以方程(*)有且只有一解 a ? . e e e ?e? 1 时函数 f ? x ? 只有一个零点. e 综上, a ? 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知 识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及 命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几 何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性; 已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考 查数形结合思想的应用. 2.设函数 f ? x ? ? 1 2 x ? mlnx , g ? x ? ? x2 ? ? m ? 1? x . 2 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 与 g ? x ? 图像的交点个数. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析: (1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调 区间; -2- (2)问题转化为求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? 1 2 x ? ? m ? 1? x ? mlnx, x ? 0 ,的零点个数 2 问题,通过求导,得到函数 F(x)的单调区间,求出 F(x)的极小值,从而求出函数 h(x) 的零点个数即 f(x)和 g(x)的交点个数. (Ⅱ) 解:令 F ? x ? ? f ? x? ? g ? x? ? ? 1 2 x ? ? m ?1? x ? m ln x , x ? 0 ,问题等价于求函数 2 F ? x ? 的零点个数, 当 m?0 时 , 1 F ? x ? ? ? x 2 ? x, x ? 0 , 有 唯 一 零 点 ; 当 m ? 0 时 , 2 F?? x? ? ? ? x ? 1?? x ? m ? x , 当 m ? 1 时, F ? ? x ? ? 0 ,函数 F ? x ? 为减函数,注意到 F ?1? ? 所以 F ? x ? 有唯一零点; 3 ? 0 , F ? 4? ? ?ln4 ? 0 , 2 当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时 F ? ? x ? ? 0 , 1 ? x ? m 时 F ? ? x ? ? 0 , 所以函数 F ? x ? 在 ? 0,1? 和 ? m, ??? 单调递减,在 ?1, m? 单调递增,注意到 F ?1? ? m ? 1 ? 0, 2 F ? 2m

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