2019年高考数学复*之名师解题系列中学数学解题思想方法讲义-割补法第1课

发布于:2021-06-11 04:45:26

中学数学解题思想方法--割补法(1) 1 内容概述 普通高中《数学课程标准》中指出:学生能从空间几何体的整体观察入手,认识空间图形,了 解一些简单几何体体积的计算方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法. 立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体,通过“分 割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体,从而解决问题的一种解题方法. 通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系,提高空间想象能力.割补法的 运用蕴含了一种构造的思想方法,反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分割” 和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两个方面进行讲解. 2 例题示范 例 1 已知如图 1-1 所示,三棱锥 P ? ABC 的每相对的两条棱相等,棱长分别 为 5、10 、13 ,求三棱锥 P ? ABC 的体积. 解:设补成的长方体的三度分别为 a, b, c ,则 V长方体 ? abc,补出的四个三棱锥的体积相等,都 ?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? ( 5 ) 2 ? ?b ? 1 ? 1 ? 2 2 2 等于 abc ,且 ?b ? c ? ( 10) ,解得 ? c ? 3 ? 6 ? 2 2 2 c ? a ? ( 13 ) ? ? 1 1 1 ?VP ? ABC ? abc ? 4 ? abc ? abc ? ?1? 2 ? 3 ? 2 . 6 3 3 评析:一般地如果按常规求法需要求出三棱锥的底面积和对应的高,而本例中高很难求出,因此需 要我们重新审视条件寻找其他解决问题的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点,联想长方体对 面不*行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥,可以把三棱锥 P ? ABC 补成长方体,如图 1-2 所 示,长方体可以看成由三棱锥 P ? ABC 和四个相同体积的易于计算的三棱锥组成.本题所采取的解 题方法为补形法.难点在于如何利用“对棱相等”这一特点,不拘泥于在所给几何体求体积,联想 长方体大胆构造,通过将对棱相等的三棱锥补形成长方体,匠心独具,极大地降低了计算量.类似 地,可以将正四面体补形成正方体,将三条棱互相垂直的三棱锥补形成长方体或正方体求三棱锥的 体积. 例 2 如图 2-1, 在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方 形,且 ?ADE, ?BCF 均为正三角形, EF // AB , EF ? 2 , 则该多面体的 体积为 ______ . 解:将多面体 ABCDEF ,分割成如图 2-2 所示的直三棱柱 ADG ? BCH 和三棱锥 E ? ADG 和三棱锥 F ? BCH ,因此 V多面体ABCDEF ? VADG ?BCH ? VE ? ADG ? VF ?BCH 1 1 ? S ?ADG ? AB ? S ?ADG ? EG ? S ?BCH ? FH 3 3 1 1 1 1 4 ? S ?ADG ? AB ? S ?ADG ? EG ? S ?ADG ? FH ? S ?ADG ? ( AB ? EG ? FH ) ? S ?ADG 3 3 3 3 3 4 1 2 2 . ? ? ? 1? ? 3 2 2 3 评析:多面体 ABCDEF 是一个不规则多面体,一般我们可以考虑把这类问题转化为用规则的几 何体之和差来求解.考虑到题目中给出 ABCD 为正方形,因此我们可以考虑在图中截成如图 2-2 所 示的一个直三棱柱 ADG ? BCH ,三棱锥 E ? ADG 和三棱锥 F ? BCH ,从而借助常用的三棱柱 和三棱锥的体积计算.本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过从几何体外部进行分割入手,将 所给不规则的几何体分割成规则的几何体--三棱柱和两个三棱锥,从而达到分割求和的目的. 例 3 求棱长为 a 的正四面体内切球的半径. 解:设正四面体内切球的球心为 O ,内切球的半径为 r , 连结 OA , OB , OC , OD ,如图 3-2 所示,则 V正四面体 =4VO?BCD , 设顶点 A 到底面的高为 AF ,因此 1 1 V正四面体 = S ?BCD ? AF VO ? BCD = S?BCD ? r 3 3 , ?r ? 1 6 AF ,容易知道 AF ? a, 4 3 ?r= 1 6 AF ? a. 4 12 评析:要想求出棱长为 a 的正四面体的内切球的半径,必须知道球心的位置,而球心的位置比较难 找.我们不妨假设球心为 O ,连结 OA , OB , OC , OD ,这样我们就把正四面体分割成四个全 等 的 三 棱 锥 如 图 3-2 所 示 , 而 且 O 到 正 四 面 体 各 个 面 的 距 离 就 是 内 切 球 的 半 径 . 因 此 V正四面体 =4VO?BCD .不难看出正四面体和三棱锥 O ? BCD 共底面 BCD ,所以我们只要求出正四面 体的高,它的 1 即为内切球的半径.本题所采取的解题方法为分割法.分割的点在几何体内部,这也 4 是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题.实际并没有分割几何体,只是利 用了分割的方法. 3 配套练* 1.如图 4-1 所示,已知底面半径为 r 的圆柱被一个*面所截,剩下部分的 母线长最小值为 a ,最大值为 b ,求这个几何体的体积. 2.棱长为 2 的正四面体内切球的体积为 ______ . A D B C 3.如图,在四棱锥 A1 ? ABCD 中, A1 A ? *面ABCD , ABCD 为矩形, AD ? 2 AB ? 2 AA1 ? 2 , A1 , A, B, C, D 是球 O 表面上的五个点,求球 O 的体积 ________. A1 A B C D 答案: 1.解:补上一个相同的几何体如图 4-2 所示,可得底面半径为 r ,高为 a ? b 的圆柱, ?V圆柱

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